CONTENTS 3

3.5 Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.7 Continuity and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.8 Lipschitz Continuity and Contraction Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.9 Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.10 Compactness in C (X ,Y ) Ascoli Arzela Theorem . . . . . . . . . . . . . . 773.11 Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.12 Partitions of Unity in Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.13 Completion of Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 Linear Spaces 914.1 Algebra in Fn, Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2 Subspaces Spans and Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3 Inner Product and Normed Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.1 The Inner Product in Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.2 General Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.3 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.4 The p Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.5 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4 Equivalence of Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5 Vitali Covering Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Functions on Normed Linear Spaces 1135.1 L (V,W ) as a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 The Norm of a Linear Map, Operator Norm . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.3 Continuous Functions in Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.5 Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.6 Functions of Many Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.7 A Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8 An Approach to the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.9 The Stone Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . 1285.10 Connectedness in Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.11 Saddle Points∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6 The Derivative 1416.1 Limits of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.3 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.4 The Matrix of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.5 A Mean Value Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.6 Existence of the Derivative, C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.7 Higher Order Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.8 Some Standard Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.9 The Derivative and the Cartesian Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153