CONTENTS 3

4.8.2 Closed and Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.8.3 Compactness and Open Coverings . . . . . . . . . . . . . . . . 694.8.4 Complete Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.10 Cauchy Sequences and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.10.1 Decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.10.2 lim sup and lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.10.3 Shrinking Diameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.11 The Euclidean Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Infinite Series of Numbers 835.1 Basic Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2 Absolute Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4 More Tests for Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4.1 Convergence Because of Cancellation . . . . . . . . . . . . . . . 905.4.2 Ratio And Root Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.5 Double Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Continuous Functions 996.1 Continuity at Every Point of D( f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3 The Extreme Values Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4 The Intermediate Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.5 Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.7 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.9 Sequences and Series of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.10 Weierstrass Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.11 Ascoli Arzela Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.12 Space Filling Continuous Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.13 Tietze Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7 The Derivative 1277.1 Limit of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.3 The Definition of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.4 Continuous and Nowhere Differentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.5 Finding the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.6 Local Extreme Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.8 Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.10 Derivatives of Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147