CONTENTS

1 Some Prerequisite Topics 11.1 Sets and Set Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Well Ordering and Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 The Complex Numbers and Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Polar Form of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Roots of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 The Quadratic Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9 The Complex Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.10 The Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.11 Ordered Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12 Division of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.13 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.14 The Method of Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.15 Finite Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.16 Some Topics From Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.17 lim sup and lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.18 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

I Linear Algebra For Its Own Sake 37

2 Systems of Linear Equations 392.1 Elementary Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Gauss Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 When are Two Polynomials Relatively Prime? . . . . . . . . . . . . . . . 442.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Vector Spaces 513.1 Linear Combinations of Vectors, Independence . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 Polynomials and Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4.1 The Algebraic Numbers and Minimum Polynomial . . . . . . . . 693.4.2 Lindermannn Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

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