Contents

1 Preliminaries 91.1 Sets and Set Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 The Number Line and Algebra of the Real Numbers . . . . . . . . . . . . . 101.4 Ordered Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 The Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 The Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Completeness of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Well Ordering and Archimedean Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.11 Systems of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.13 Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.14 Algebra in Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.16 The Inner Product in Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.17 What is Linear Algebra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.18 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Linear Transformations 372.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 The ijth Entry of a Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.2 Digraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.3 Properties of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.4 Finding The Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4 Geometrically Defined Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5 The Null Space of a Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6 Subspaces and Spans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7 An Application to Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.8 Matrices and Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.8.1 The Coriolis Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.8.2 The Coriolis Acceleration on the Rotating Earth . . . . . . . . . . . 70

2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Determinants 833.1 Basic Techniques and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2