Contents

1 Preface 23

I Review Of Advanced Calculus 25

2 Set Theory 292.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Partially Ordered Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Continuous Functions Of One Variable 373.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Theorems About Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 The Riemann Stieltjes Integral 434.1 Upper And Lower Riemann Stieltjes Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Functions Of Riemann Integrable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Properties Of The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5 Fundamental Theorem Of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Some Important Linear Algebra 615.1 Subspaces Spans And Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 An Application To Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3 The Mathematical Theory Of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4.1 The Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4.2 Permuting Rows Or Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.4.4 The Alternating Property Of The Determinant . . . . . . . . . . 715.4.5 Linear Combinations And Determinants . . . . . . . . . . . . . 725.4.6 The Determinant Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2