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1 Review of Some Linear Algebra 91.1 The Matrix of a Linear Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Block Multiplication of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Schur’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Hermitian and Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 The Right Polar Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Elementary matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 The Row Reduced Echelon Form Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Finding the Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.9 The Mathematical Theory of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.9.2 The Definition of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.9.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9.4 Basic Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . 381.9.5 Expansion Using Cofactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.6 A Formula for the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.9.7 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.9.8 Rank of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.9.9 An Identity of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.10 The Cayley Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Some Basic Topics 492.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4 sup and inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5 Double Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6 lim sup and lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.7 Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.8 The Hausdorff Maximal Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Metric Spaces 633.1 Open and Closed Sets, Sequences, Limit Points . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Cauchy Sequences, Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3 Closure of a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Separable Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

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