4 CONTENTS

7.11 Derivatives and Limits of Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8 Power Series 1558.1 Functions Defined in Terms of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.2 Operations on Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.3 The Special Functions of Elementary Calculus . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.3.1 Sines and Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.3.2 The Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.4 ln and logb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.5 The Complex Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.6 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.8 L’Hôpital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.8.1 Interest Compounded Continuously . . . . . . . . . . . . . . . . 1748.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.10 Multiplication of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798.12 The Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.13 Some Other Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9 Integration 1879.1 The Integral of 1700’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.2 The Riemann Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.3 Fundamental Definitions and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.4 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.5 The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.6 Uniform Convergence and the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.7 A Simple Procedure for Finding Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089.8 Stirling’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.9 Fubini’s Theorem an Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.10 Geometric Length of a Curve in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10 Improper Integrals 22910.1 The Dirichlet Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23110.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23410.3 The Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810.4 Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23910.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

11 Functions of One Complex Variable 24911.1 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24911.2 Cauchy Goursat, Cauchy Integral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 25211.3 Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25811.4 The Logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25911.5 The Method of Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26111.6 Counting Zeros, Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26811.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271