CONTENTS 3

3.3 Closure of a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4 Separable Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.5 Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.6 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.7 Continuity and Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.8 Lipschitz Continuity and Contraction Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.9 Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.10 Compactness in C (X ,Y ) Ascoli Arzela Theorem . . . . . . . . . . . . . . 853.11 Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.12 Partitions of Unity in Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.13 Completion of Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 Linear Spaces 994.1 Algebra in Fn, Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2 Subspaces Spans and Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3 Inner Product and Normed Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.1 The Inner Product in Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.2 General Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3.3 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3.4 The p Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.3.5 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4 Equivalence of Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5 Covering Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5.1 Vitali Covering Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5.2 Besicovitch Covering Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Functions on Normed Linear Spaces 1255.1 L (V,W ) as a Vector Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 The Norm of a Linear Map, Operator Norm . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3 Comparisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.4 Continuous Functions in Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . 1295.5 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.6 Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.7 Functions of Many Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.8 A Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.9 An Approach to the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.10 The Stone Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . 1415.11 Connectedness in Normed Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445.12 Saddle Points∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6 Fixed Point Theorems 1556.1 Simplices and Triangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.2 Labeling Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3 The Brouwer Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.4 The Schauder Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163