6 CONTENTS

11.13 Radon Nikodym Theorem, Radon Measures . . . . . . . . . . . . . . . . 34311.14 Absolutely Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34411.15 Total Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34811.16 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

12 The Lp Spaces 35712.1 Basic Inequalities and Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35712.2 Density Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36212.3 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36312.4 Continuity of Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36512.5 Mollifiers and Density of Smooth Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 36612.6 Smooth Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36912.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

13 Fourier Transforms 37513.1 Fourier Transforms of Functions in G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37513.2 Fourier Transforms of Just about Anything . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

13.2.1 Fourier Transforms of Functions in L1 (Rn) . . . . . . . . . . . . 38113.2.2 Fourier Transforms of Functions in L2 (Rn) . . . . . . . . . . . . 38313.2.3 The Schwartz Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38613.2.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

13.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

14 Integration on Manifolds 39314.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39314.2 The Area Measure on a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39714.3 Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40014.4 Volumes of Balls in Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40414.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

15 Degree Theory 40915.1 Sard’s Lemma and Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41115.2 Properties of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41815.3 Brouwer Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42015.4 Borsuk’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42115.5 Some Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42415.6 Product Formula, Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42615.7 General Jordan Separation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43115.8 Uniqueness of the Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43215.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

16 Hausdorff Measure 43716.1 Lipschitz Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43716.2 Lipschitz Functions and Gateaux Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . 43716.3 Rademacher’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43816.4 Weak Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44316.5 Definition of Hausdorff Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44516.6 Properties of Hausdorff Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44616.7 H p and mp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447