CONTENTS 9

23.1 Radon Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62123.2 Vector Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62123.3 Representation for the Dual Space of Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62623.4 Weak Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63123.5 The Dual Space of L∞ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63323.6 Non σ Finite Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63623.7 The Dual Space of C0 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

23.7.1 Extending Righteous Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . 64123.7.2 The Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 642

23.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

24 The Bochner Integral 64724.1 Strong and Weak Measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

24.1.1 Eggoroff’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65424.2 The Bochner Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

24.2.1 Definition and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65524.2.2 Taking a Closed Operator Out of the Integral . . . . . . . . . . . 659

24.3 Operator Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66224.3.1 Review of Hilbert Schmidt Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 66324.3.2 Measurable Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

24.4 Fubini’s Theorem for Bochner Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66824.5 The Spaces Lp (Ω;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67124.6 Measurable Representatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67724.7 Vector Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67824.8 The Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68224.9 An Example of Polish Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68724.10 Weakly Convergent Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68924.11 Some Embedding Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69024.12 Conditional Expectation in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 70124.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

25 Stone’s Theorem and Partitions of Unity 70525.1 Partitions of Unity and Stone’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70825.2 An Extension Theorem, Retracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

IV Stochastic Processes and Probability 713

26 Independence 71526.1 Random Variables and Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71526.2 Convergence in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71826.3 Kolmogorov Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71926.4 Independent Events and σ Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72026.5 Banach Space Valued Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72426.6 Reduction to Finite Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72726.7 0,1 Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72726.8 Strong Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

27 Analytical Considerations 735