CONTENTS 3

3 Sequences and Compactness 793.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 The Limit of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4 The Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.6 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6.1 Sequential Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6.2 Closed and Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.7 Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.9 Videos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 Continuity and Limits 974.1 An Equivalent Formulation of Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3 The Extreme Values Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4 The Intermediate Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.5 Continuity of the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.7 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.8 Examples of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.9 Sequences of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.10 Polynomials and Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.12 Limit of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.14 Videos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 The Derivative 1215.1 The Definition of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2 Finding the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.3 Derivatives of Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.4 Circular Functions and Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.5 Exponential Functions and Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.6 The Complex Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.7 Related Rates and Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.9 Local Extreme Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.11 Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.13 First and Second Derivative Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.15 Taylor Series Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.16 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.17 L’Hôpital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.18 Interest Compounded Continuously . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150