CONTENTS

I Preliminary Topics 1

1 Basic Notions 31.1 Sets and Set Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 The Schroder Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 The Hausdorff Maximal Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 The Hamel Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Real and Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Roots Of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 The Complex Exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 A Normed Vector Space Fp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 The Method of Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.10 The Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.11 Some Topics from Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.11.1 lim sup and lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.11.2 Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.11.3 Multiplication of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.12 Root Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Basic Topology and Algebra 372.1 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 Closed and Open Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Sequences and Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4 Separability and Complete Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 Compactness and Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5.1 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5.2 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5.3 The Extreme Value Theorem and Uniform Continuity . . . . . . 532.5.4 Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6 Tietze Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7 Equivalence of Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.8 Norms on Linear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.9 General Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.10 Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.11 Completion of Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

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