CONTENTS 3

4.1 Systems Of Equations, Algebraic Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.1 Elementary Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Gauss Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.3 Balancing Chemical Reactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.4 Dimensionless Variables∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 MATLAB And Row Reduced Echelon Form . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Matrices 815.1 Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1 Addition And Scalar Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . 815.1.2 Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.3 The i jth Entry Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1.4 Properties Of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . 905.1.5 The Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.1.6 The Identity And Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.1.7 Finding The Inverse Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 MATLAB And Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Determinants 1076.1 Basic Techniques And Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1.1 Cofactors And 2×2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.1.2 The Determinant Of A Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . 1106.1.3 Properties Of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.1.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . . . 113

6.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2.1 A Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2.2 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3 MATLAB And Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7 Determinants Mathematical Theory∗ 1297.0.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.1 The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.1.1 The Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.1.2 Permuting Rows Or Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.1.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.1.4 The Alternating Property Of The Determinant . . . . . . . . . . 1337.1.5 Linear Combinations And Determinants . . . . . . . . . . . . . 1347.1.6 The Determinant Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.1.7 Cofactor Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.1.8 Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.1.9 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.1.10 Upper Triangular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.2 The Cayley Hamilton Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8 Rank Of A Matrix 1438.1 Elementary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143