4.1. ELEMENTARY MATRICES 115
Now consider what this does to a column vector.
1 0. . .
1...
. . .
c · · · 1. . .
0 1
v1...
vi...
vj...
vn
=
v1...
vi...
cvi + vj...
vn
Now from this and the way matrices are multiplied,
E (c× i+ j)
a11 a12 · · · · · · · · · · · · a1p...
......
ai1 ai2 · · · · · · · · · · · · aip...
......
aj2 aj2 · · · · · · · · · · · · ajp...
......
an1 an2 · · · · · · · · · · · · anp
equals a matrix of the following form having the indicated columns.
E (c× i+ j)
a11...
ai1...
aj2...
an1
, E (c× i+ j)
a12...
ai2...
aj2...
an2
, · · ·E (c× i+ j)
a1p...
aip...
ajp...
anp
=
a11 a12 · · · a1p...
......
ai1 ai2 · · · aip...
......
aj2 + cai1 aj2 + cai2 · · · ajp + caip...
......
an1 an2 · · · anp
The case where i > j is handled similarly. This proves the following lemma.
Lemma 4.1.5 Let E (c× i+ j) denote the elementary matrix obtained from I by replacingthe jth row with c times the ith row added to it. Then
E (c× i+ j)A = B