4 CONTENTS

7.10 The Tietze Extension Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.11 Some Simple Fixed Point Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.12 General Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.13 Connected Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8 Normed Linear Spaces 1778.1 Algebra in Fn, Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.2 Subspaces Spans And Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.3 Inner Product And Normed Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.3.1 The Inner Product In Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.3.2 General Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3.3 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.3.4 The p Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.3.5 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8.4 Equivalence Of Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9 Weierstrass Approximation Theorem 1959.1 The Bernstein Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.2 Stone Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.2.1 The Case Of Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999.2.2 The Case Of Locally Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . 2019.2.3 The Case Of Complex Valued Functions . . . . . . . . . . . . . 202

9.3 The Holder Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

10 Brouwer Fixed Point Theorem Rn∗ 20710.0.1 Simplices and Triangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20710.0.2 Labeling Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.1 The Brouwer Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21310.2 Invariance Of Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

II Real And Abstract Analysis 221

11 Abstract Measure And Integration 22311.1 σ Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22311.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23311.3 The Abstract Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

11.3.1 Preliminary Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23511.3.2 The Lebesgue Integral Nonnegative Functions . . . . . . . . . . 23711.3.3 The Lebesgue Integral For Nonnegative Simple Functions . . . . 23811.3.4 Simple Functions And Measurable Functions . . . . . . . . . . . 24111.3.5 The Monotone Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 24511.3.6 Other Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246