CONTENTS 9

24.1.1 A Locally Lipschitz Selection, Pseudogradients . . . . . . . . . 81124.1.2 Mountain Pass Theorem In Banach Space . . . . . . . . . . . . . 817

25 Nonlinear Operators 82325.1 Some Nonlinear Single Valued Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82325.2 Duality Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83225.3 Penalizaton And Projection Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84125.4 Set-Valued Maps, Pseudomonotone Operators . . . . . . . . . . . . . . . 84425.5 Sum Of Pseudomonotone Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85525.6 Generalized Gradients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86525.7 Maximal Monotone Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868

25.7.1 The minmax Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86925.7.2 Equivalent Conditions For Maximal Monotone . . . . . . . . . . 87425.7.3 Surjectivity Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88225.7.4 Approximation Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89325.7.5 Sum Of Maximal Monotone Operators . . . . . . . . . . . . . . 90225.7.6 Convex Functions, An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

25.8 Perturbation Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920

26 Integrals And Derivatives 93326.1 The Fundamental Theorem Of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93326.2 Absolutely Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93826.3 Weak Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94226.4 Lipschitz Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94626.5 Rademacher’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94926.6 Rademacher’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956

26.6.1 Morrey’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95626.6.2 Rademacher’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959

26.7 Differentiation Of Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96326.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968

27 Orlitz Spaces 97327.1 Basic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97327.2 Dual Spaces In Orlitz Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987

28 Hausdorff Measure 99328.1 The Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993

28.1.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99428.2 H p and mp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99628.3 Technical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998

28.3.1 Steiner Symmetrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100028.3.2 The Isodiametric Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1002

28.4 The Proper Value Of β (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100328.4.1 A Formula For α (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100428.4.2 Hausdorff Measure And Linear Transformations . . . . . . . . .1006