6 CONTENTS

15.3 Cartesian Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31215.4 Sequential Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31315.5 Vector Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31415.6 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.7 Sufficient Conditions for Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31615.8 Limits of a Function of Many Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31715.9 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31915.10 MATLAB and Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32015.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32115.12 Extreme Value Theorem, Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . 32215.13 Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32315.14 Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32415.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

16 Space Curves 33116.1 Using MATLAB to Graph Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33116.2 The Derivative and Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

16.2.1 Geometric and Physical Significance of the Derivative . . . . . . 33316.2.2 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33516.2.3 Leibniz’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

16.3 Arc Length and Orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33716.4 Arc Length and Parametrizations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

16.4.1 Hard Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34116.4.2 Independence of Parametrization . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

16.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34316.6 Motion on Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

16.6.1 Some Simple Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34716.7 Geometry of Space Curves∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34916.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

17 Some Physical Applications 35317.1 Spherical and Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35317.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35417.3 Planetary Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

17.3.1 The Equal Area Rule, Kepler’s Second Law . . . . . . . . . . . 35717.3.2 Inverse Square Law, Kepler’s First Law . . . . . . . . . . . . . . 35717.3.3 Kepler’s Third Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

17.4 The Angular Velocity Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36017.5 Angular Velocity Vector on Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36217.6 Coriolis Force and Centripetal Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36317.7 Coriolis Force on the Rotating Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36417.8 The Foucault Pendulum∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36617.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

II Functions of Many Variables 371

18 Linear Functions 373