CONTENTS 7

18.1 The Matrix of a Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37318.2 Row Operations and Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

18.2.1 Using MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38818.2.2 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38918.2.3 The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39018.2.4 MATLAB and Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

18.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39218.4 Subspaces Spans and Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39718.5 Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40018.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

19 Eigenvalues and Eigenvectors 40919.1 Definition of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40919.2 An Introduction to Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

19.2.1 Cofactors and 2×2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . 40919.2.2 The Determinant of a Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . . 41219.2.3 Properties of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41319.2.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . . . 414

19.3 MATLAB and Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41619.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

19.4.1 A Formula for the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41619.4.2 Finding Eigenvalues Using Determinants . . . . . . . . . . . . . 418

19.5 MATLAB and Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41919.6 Matrices and the Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41919.7 Distance and Orthogonal Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42019.8 Diagonalization of Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42119.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

20 Theory of Determinants∗ 43120.1 The Function sgn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43120.2 The Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

20.2.1 The Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43320.2.2 Permuting Rows Or Columns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43320.2.3 A Symmetric Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43520.2.4 The Alternating Property of the Determinant . . . . . . . . . . . 43520.2.5 Linear Combinations and Determinants . . . . . . . . . . . . . . 43620.2.6 The Determinant of a Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43720.2.7 Cofactor Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43720.2.8 Row, Column, and Determinant Rank . . . . . . . . . . . . . . . 43920.2.9 Formula for the Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44020.2.10 The Cayley Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44220.2.11 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

20.3 p Dimensional Parallelepipeds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

21 Functions of Many Variables 44721.1 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44721.2 Review of Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44721.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449