8 CONTENTS

21.4 Directional and Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45021.4.1 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45021.4.2 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

21.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45321.6 Mixed Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45421.7 Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45621.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

22 Derivative of a Functions of Many Variables 45922.1 The Derivative of Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . 45922.2 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46122.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46622.4 C1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46822.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

22.5.1 The Chain Rule for Functions of One Variable . . . . . . . . . . 47122.5.2 The Chain Rule for Functions of Many Variables . . . . . . . . . 471

22.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47622.6.1 Related Rates Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47822.6.2 The Derivative of the Inverse Function . . . . . . . . . . . . . . 479

22.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48022.8 The Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48122.9 The Gradient and Tangent Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48322.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

23 Optimization 48723.1 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48723.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48923.3 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49023.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49323.5 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49523.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50023.7 Proof of the Second Derivative Test∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

24 Implicit Function Theorem* 50724.1 More Continuous Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51124.2 The Method of Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

25 Line Integrals 51525.1 Line Integrals and Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51525.2 Conservative Fields and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51825.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

26 The Riemannn Integral on Rp 52126.1 Methods for Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

26.1.1 Density and Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52526.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52626.3 Methods for Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

26.3.1 Definition of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52726.3.2 Iterated Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527